Fraktale Mathematik als Disziplin?

Eine fraktale Analysis als gleichwertiges Pendant zur Funktionsanalysis im Sinne der in der Natur verwirklichten Mathematik gibt es bis heute nicht, sondern im Wesentlichen nur besagte fraktale Geometrie, die man trotz Unterschieden in etwa als Gegenstück zur Euklidischen Geometrie sehen könnte. Was eine derartige „vollständige“ fraktale Mathematik darüber hinaus leisten soll, ließ sich bislang kaum klar sagen.

Die Axiomatik dieser Mathematik muss nicht von gliedernder Logik ausgehen, sondern entsprechend dem Unterschied zwischen europäischem logischem und fern-östlichem ganzheitlichem Vorgehen stattdessen von komplexen Grundzuständen. Schlussendlich sollte man von der ganzheitlichen Denkart ausgehend sich der logischen entsprechend annähern können, wie man von einer logischen Basis aus mit fortgeschrittenen Methoden bereits komplexe Vorgänge erfassen kann. Das rüttelt erheblich an den Grundlagen allen abendländischen Denkens, geht auch über „reines“ Denken im Sinne von strenger Logik hinaus, ist deshalb aber absolut keine Esoterik, als die es gerne diffamiert wird.

Ein wesentlicher Punkt jeder fraktalen Betrachtungsweise ist der mögliche nahtlose Übergang von logischer analytischer zu komplexer synthetischer Sichtweise. Im Abendland besteht die tief verwurzelte und meist gar nicht als Wahl reflektierte Tradition, auf der logischen Seite anzufangen, was zunächst durchaus etwa mit den Erfolgen der Technik gerechtfertigt werden kann. Aber auf der anderen Seite bei den komplexen Vorgängen mit den axiomatischen Grundlagen einer solchen Fraktomatik zu beginnen, scheint für viele Mathematiker eben Esoterik, in Wirklichkeit jedoch völlig gleichwertig zu sein.

Ein konsequenter solcher Ansatz könnte anfangs schwierig erscheinen, genauso wie auch die Funktionsmathematik viel Zeit und Mühe zu ihrer heutigen Entwicklung gebraucht hat. Wegen des möglichen, jetzt trotz des Nachweises von Gravitationswellen noch nicht übersehbaren Zusammenhangs mit den ungelösten Problemen der Vereinigung zwischen Gravitationstheorie und Quantenelektrodynamik sollte aber der Anreiz zu weiterem Vorgehen in diese Richtung recht hoch sein.

Ein zentraler Punkt, bei dem die „klassische“ Funktionsmathematik zwar nicht völlig versagt aber durchaus schwierig wird, ist zum Beispiel eine rein mathematische, möglichst einfache Beschreibung von automatischer Strukturbildung bei genügender Komplexität ohne Zuhilfenahme von physikalischen oder anderen Voraussetzungen. Der Ausdruck Struktur wird in den verschiedensten Disziplinen des europäischen Kulturbereichs verwirrend unterschiedlich gebraucht, müsste sich jedoch auf diese Weise auf eine gemeinsame Wurzel zurückführen lassen. Die automatische, rein mathematisch beschreibbare Strukturbildung bei hoher Komplexität sollte dann nicht ein extrem schwer verständlicher Prozess, sondern ein einfacher Basisvorgang sein, wie es offensichtlich auch in der Natur der Fall ist.

Mögliche Basis in Mengen- und Zahltheorie

Das Null-Element der Fraktomatik wäre die Gesamtheit aller Elemente (im Cantor’schen Sinn), also die Gesamtstruktur. Um deren Elemente von den Zahlen zu unterscheiden, aber ihren Bezug zu diesen deutlich zu machen, können wir statt von einer Null von einer Sull sprechen, womit eine Struktur-Null assoziiert werden kann. In radikalerer Ausdrucksweise können wir sagen, dass das Sull-Element der Fraktomatik der Gesamtheit aller Elemente bei Beschreibung mit klassischer Mathematik entspricht, wobei hier mit Elementen aber Strukturen gemeint sind. Ein einzelnes Loch als masselose Struktur in dieser Sull ist dann die Struktur-Eins, Seins genannt, es folgen Swei, Srei, Sier und so fort. Freie Elemente außerhalb dieser Gesamtstruktur sind als negativ oder auch imaginär angesehene Teilstrukturen außerhalb der Sull-Struktur angesiedelt, also „freie Teilchen“, wobei es fast wie ein Witz vorkommt, dass in der Elektrizitätslehre zum Beispiel ebenso als frei bezeichnete Elektronen auch das negative Vorzeichen tragen. Es ist zum Beispiel sofort ersichtlich, dass sich einfachere Betrachtungsweisen für Leitungselektrizität eröffnen sollten.

Auf diese Art lässt sich die Entstehung natürlicher Strukturen einfacher erfassen. Die Sull-Menge der ganzen Welt wird damit beschrieben als duales Spiegelbild einer Darstellung durch die Gesamtheit aller Zahlen als Elemente. Dies ist eine von der Riemannschen Zahlenkugel wohlbekannte Vorstellung, wenn man auf ihr oben vom Punkt Unendlich ausgeht. Man fängt in besagter Fraktomatik also an, mit der Gesamtstruktur zu rechnen, und kommt erst später zu Elementen im überbrachten Sinn. Damit ergibt sich als Ausgangspunkt eine Erfassung der Ganzheitlichkeit, wie es beispielsweise auch eine ursprüngliche Absicht der pädagogischen Bemühungen vor etwa fünfzig Jahren war, Kindern vor der klassischen Mathematik Mengenlehre beizubringen. Man wollte gleich zu Anfang ihren Sinn für Ganzheitlichkeit schärfen, wie es der Umbruchzeit der 1968-er Jahre in Deutschland entsprach und wie es vor allem auch im afrikanischen und asiatischen Empfinden an vielen Stellen eh und je zum Ausdruck kommt.

Zahlbereiche haben als Teilsparten die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen, komplexen und weitere Zahlen, wie auch ein weitgehender Laie bereits in entsprechenden Wikipedia-Artikeln nachlesen kann. Diese werden dort Strukturen genannt und sind durch zwischen ihnen existierende Relationen definiert. Die wichtigsten drei derartigen Strukturen sind in diesem Sinne algebraische, Ordnungs- und topologische Strukturen. Zahlbereiche zeichnen sich dadurch aus, dass sie alle diese drei Strukturen haben, die untereinander zusammenhängen. Diese mathematischen Strukturen sind jedoch nicht identisch mit den natürlichen Strukturen in der besagten Darstellung auf der Riemannschen Kugel.

Wir lönnten einen Ausdruck prägen für die einem Loch entsprechende „Anti-Zahl“ und diese Fahl (von umfassen oder Fraktal) nennen. Für diese Fahlen sollten genau dieselben Regeln gelten wie für die Zahlen, also vor allem auch die Zugehörigkeit zu allen drei genannten wichtigsten Strukturen in jenem Sinne. Die Einzelheiten auszuführen muss dieser Physiker den Mathematikern überlassen. Wesentlich ist jedoch die Anwendbarkeit der Fahlen auf Naturverhältnisse genauso wie bei Zahlen. Es muss also ebenso natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe und weitere Fahlen geben wie wohlbekannt bei den klassischen Zahlen.

Mit diesen hier Fahlen genannten Strukturen ließe sich also mit natürlichen Strukturen entsprechend wie mit Teilchen rechnen. Im Prinzip wird damit „zunächst“ die klassische Mathematik der Teilchenphysik zugeordnet und diese Fraktomatik der modernen Feldphysik. Man kann an beiden Seiten völlig gleichwertig anfangen und wird jeweils irgendwann an das andere Ende gelangen.